Question

13．已知點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，點A（3，m）在拋物線E上，且|AF|=4．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）已知點G（-1，0），延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

分析 （I）由拋物線定義可得：|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，解得p．即可得出拋物線E的方程．
（II）由點A（3，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A（3，2$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為3x²-10x+3=0，解得B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．又G（-1，0），計算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

解答 （I）解：由拋物線定義可得：|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，解得p=2．
∴拋物線E的方程為y²=4x；
（II）證明：∵點A（3，m）在拋物線E上，
∴m²=4×3，解得m=±2$\sqrt{3}$，不妨取A（3，2$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，0），
∴直線AF的方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），
聯(lián)立拋物線，化為3x²-10x+3=0，解得x=3或$\frac{1}{3}$，B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．k_GB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x軸平分∠AGB，
因此點F到直線GA，GB的距離相等，
∴以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

點評 本小題主要考查拋物線、直線與拋物線及其圓的位置關系及其性質、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．