Question

【題目】如圖，為圓的直徑，點為圓上的一點，且，點為線段上一點，且，垂直圓所在的平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接，然后利用直徑的性質與正三角形的性質推出、，再結合線面垂直的性質定理推出，由此使問題得證；（Ⅱ）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，然后求出相關點的坐標和向量，再分別求出平面與的法向量，從而利用空間夾角公式求解即可．

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，由知，點為的中點．

為圓上的一點，為圓的直徑，．

知，，

為正三角形，．

又垂直圓所在的平面，在圓所在的平面內，．

由，可得平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立如圖所示的空間直角坐標．設，

則．．

設向量為平面的法向量，則，即

，取，則為平面的一個法向量．

又為平面的一個法向量．

，

二面角的余弦值為．