Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B，兩點(diǎn)，△AOB的面積為8，直線l與拋物線C相切于Q點(diǎn)，P是l上一點(diǎn)（不與Q重合）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過F，求|PF|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）F的坐標(biāo)為$（0，\frac{p}{2}）$，根據(jù)三角形的面積即可求出p的值，問題得以解決；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀），P（x₁，y₁）設(shè)直線為l：y-y₀=k（x-x₀），根據(jù)韋達(dá)定理求出和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出x₁的值，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：F的坐標(biāo)為$（0，\frac{p}{2}）$，|AB|=2p，
∴${S_△}AOB=\frac{1}{2}×2p×\frac{p}{2}=\frac{p^2}{2}=8$，
∴p=4，
∴拋物線方程為y²=8x；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀），P（x₁，y₁）
設(shè)直線為l：y-y₀=k（x-x₀），聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y-{y_0}=k（x-{x_0}）}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$得${k^2}{x^2}+[2k（{y_0}-k{x_0}）-8]x+（{y_0}-k{x_0}）{\;}^2=0$
利用△=0化簡可得：${x_0}{k^2}-{y_0}k+2=0$，
又∵${y_0}^2=8{x_0}$，可得$k=\frac{4}{y_0}$
∴直線l：y₀y=4（x+x₀），
∵$\overrightarrow{PF}=（2-{x_1}，-{y_1}）$，$\overrightarrow{QF}=（2-{x_0}，-{y_0}）$，
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}=（2-{x_1}）（2-{x_0}）+{y_1}{y_0}=0$，
∵y₁y₀=4（x₀+x₁），
∴x₁x₀+2（x₀+x₁）+4=（x₁+2）（x₀+2）=0，
∵x₀＞0，
∴x₁+2=0，
∴x₁=-2，
即點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線x=-2上的點(diǎn)
∴PF的最小值是4．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．