Question

3．設(shè)拋物線y²=4x的焦點為F，過點M（2，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點C，$|{BF}|=\frac{3}{2}$，則△BCF與△ACF的面積的比值為（　�。�

• A． 1：4
• B． 1：5
• C． 1：6
• D． 1：7

Answer 1

分析 利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為BC長與AC長的比，再根據(jù)拋物線的焦半徑公式借助|BF|=$\frac{3}{2}$求出B點坐標(biāo)，得到AB方程，代入拋物線方程，解出A點坐標(biāo)，就可求出BC與AC的長度之比，得到所需問題的解．

解答 解：∵拋物線方程y²=4x的焦點為F坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|BF|=x₂+1=$\frac{3}{2}$，
∴x₂=$\frac{1}{2}$
把x₂=$\frac{1}{2}$代入拋物線y²=4x得y=±$\sqrt{2}$，不妨取y₂=-$\sqrt{2}$，即B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）為例進行研究
∴直線AB過點M（2，0）與B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）
方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-2），代入拋物線方程，解得，x₁=8，
∴|AE|=8+1=9，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴△BCF與△ACF的面積的比值為=$\frac{|BC|}{|AC|}$=$\frac{|BN|}{|AE|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{9}$=$\frac{1}{6}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了拋物線的焦半徑公式，側(cè)重了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，以及計算能力．