Question

1．如圖，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，線段AB上點(diǎn)F滿足AF=2FB，AB長(zhǎng)為12，點(diǎn)E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD與EF相交于N．現(xiàn)將四邊形ADEF沿EF折起，使點(diǎn)D在平面BCEF上的射影恰在直線BC上．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直線DE與平面BCEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明出EF⊥平面BDN，根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面BDN⊥平面BCEF，根據(jù)BN為平面BDN與平面BCEF的交線，進(jìn)而推斷D在平面BCEF上的射影在直線BN上
，進(jìn)而推斷D在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B，證明出結(jié)論．
（Ⅱ）DB⊥底面BCEF，所以∠DEB為DE與平面BCEF所成的角．

解答 （Ⅰ）證明：EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又∵BN為平面BDN與平面BCEF的交線，
∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上，
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B，
即BD⊥平面BCEF．
（Ⅱ）解：如圖，D在平面BCEF上的射影點(diǎn)為點(diǎn)B，

∴∠DEB為DE與平面BCEF所成的角，
DE=AF=8，NF=2，NE=4，NB=2$\sqrt{3}$，NB⊥NE，
∴BE=2$\sqrt{7}$，DB=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=6，
∴sin∠DEB=$\frac{DB}{DE}$=$\frac{3}{4}$，
即直線DE與平面BCEF所成角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直，線面平行判定定理及其性質(zhì)的運(yùn)用，平面法向量的運(yùn)用．綜合考查了學(xué)生分析能力和解題能力．