Question

16．已知拋物線C：x²=8y．AB是拋物線C的動弦，且AB過F（0，2），分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析 設(shè)AB：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用切線的幾何意義即可求得過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率關(guān)系，從而解決問題

解答 證明：∵直線AB與x軸不垂直，設(shè)AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$得到x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16，
拋物線方程為y=$\frac{1}{8}$x²，
∴y′=$\frac{1}{4}$x
∴過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是k₁=$\frac{1}{4}$x₁，k₂=$\frac{1}{4}$x₂，
∴k₁•k₂=$\frac{1}{4}$x₁•$\frac{1}{4}$x₂=-1，
∴AQ⊥BQ

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．．