Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{3{x}^{2}}{20}$-$\frac{3{y}^{2}}{5}$=1
• D． $\frac{3{x}^{2}}{5}$-$\frac{{3y}^{2}}{20}$=1

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，求出幾何量a，b，c，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∵c²=a²+b²，
∴a=2，b=1，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，確定雙曲線的幾何量是關(guān)鍵．