Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足

Sn

n

=n+2（n∈N^*）
（1）求數(shù)列a_n通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使T_n≤

m

72

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

Sn

n

=n+2，得Sn=n2+2n．然后分n=1和n≥2求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證首項(xiàng)后得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

anan+1

然后利用裂項(xiàng)相消法求和，代入T_n≤

m

72

求得最小正整數(shù)m的值．

解答： 解：（1）由

Sn

n

=n+2，得Sn=n2+2n．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+2×1=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2n+1；
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)．
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

1

6

-

1

2(2n+3)

＜

1

6

．
由T_n≤

m

72

，得m≥72T_n，
∴m≥72×

1

6

=12．
即滿足T_n≤

m

72

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m=12．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．