Question

6．已知拋物線M：x²=4y，圓C：x²+（y-3）²=4，在拋物線M上任取一點(diǎn)P，向圓C作兩條切線PA和PB，切點(diǎn)分別為A，B，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范圍是[0，4）．

Answer 1

分析 設(shè)∠ACB=2θ，可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ．設(shè)P$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$，可得|CP|²=${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-3）^{2}$=$\frac{1}{16}（{x}_{0}^{2}-4）^{2}$+8，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值，根據(jù)2θ的取值范圍即可得出．

解答 解：設(shè)∠ACB=2θ，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ．
設(shè)P$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$，
則|CP|²=${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-3）^{2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}}{16}$-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$+9=$\frac{1}{16}（{x}_{0}^{2}-4）^{2}$+8，
∴當(dāng)x₀=±2時(shí)，|CP|取得最小值2$\sqrt{2}$，2θ取得最大值$\frac{π}{2}$，即cos2θ取得最小值0．
又2θ＞0，∴cos2θ＜1．
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ∈[0，4）．
故答案為：[0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．