【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)對任意均有的取值范圍.

注:為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2.

【解析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(2)由題意首先由函數(shù)在特殊點的函數(shù)值得到a的取值范圍,然后證明所得的范圍滿足題意即可.

(1)當(dāng)時,,函數(shù)的定義域為,且:

,

因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)構(gòu)造函數(shù),

注意到:

注意到恒成立,滿足;

當(dāng)時,,不合題意,

,解得:,故.

下面證明剛好是滿足題意的實數(shù)a的取值范圍.

分類討論:

(a)當(dāng)時,

,則:

,

易知,則函數(shù)單調(diào)遞減,,滿足題意.

(b)當(dāng)時,等價于,

左側(cè)是關(guān)于a的開口向下的二次函數(shù),

其判別式

,注意到當(dāng),,

于是上單調(diào)遞增,,

于是當(dāng)時命題成立,

而當(dāng),此時的對稱軸為隨著遞增,

于是對稱軸在的右側(cè),成立,(不等式等價于).

因此.

綜上可得:實數(shù)a的取值范圍是.

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