Question

2．如圖，在斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=$\frac{π}{3}$，若∠AA₁C=$\frac{π}{2}$，且A₁在底面ABCD上的射影為△ABD的重心G．
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；（2）求三棱錐C₁-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，則O在AC上，由A₁G⊥平面ABCD得A₁G⊥BD，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，故而BD⊥平面ACC₁A₁，于是平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，求三棱錐C₁-A₁BC的體積．

解答 （1）證明：連結(jié)AC、BD相交于O
∵四邊形ABCD為菱形，且$∠BAD=\frac{π}{3}$，∴△ABD為等邊三角形，
∵A₁在底面ABCD上的射影G為△ABD的重心，∴G∈ACA₁G⊥平面ABCD，∴BD⊥A₁G，
又四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁G與AC相交于G，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD在平面BDD₁B₁內(nèi)，∴平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：∵$AG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2\sqrt{3}×\frac{2}{3}=2，GC=4$，
∴在Rt△AA₁C中，由射影定理知${A_1}{G^2}=AG•GC$，求得${A_1}G=2\sqrt{2}，AO=3$.${V_{{C_1}-{A_1}BC}}={V_{{B_1}-{A_1}BC}}={V_{A-{A_1}BC}}={V_{{A_1}-ABC}}$，且△ABC是腰長為$2\sqrt{3}$，頂角為$\frac{2π}{3}$的等腰三角形，
∴${V_{A-ABC}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×（{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×12}）=2\sqrt{6}$，即三棱錐C₁-A₁BC的體積$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，三棱錐C₁-A₁BC的體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．