Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)A（${\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}}$）在橢圓E上，射線(xiàn)AO與橢圓E的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)P（-4t，t）在橢圓E內(nèi)部，射線(xiàn)AP，BP與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為C，D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：CD∥AB．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A代入橢圓方程，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，聯(lián)立求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得B點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$，求得x₁和y₁，代入橢圓方程，求得$（{λ_1}+1）•18{t^2}={λ_1}-1$，同理求得（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，兩式相減求得λ₁=λ₂，因此可證明CD∥AB．

解答 解：（1）將點(diǎn)A代入橢圓方程得：$\frac{{{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}}}{b^2}=1$，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得：a²=1，${b^2}=\frac{1}{2}$，
所以，橢圓E的方程為：x²+2y²=1．
（2）∵$A（\frac{1}{3}，\;\frac{2}{3}）$，
∴$B（-\frac{1}{3}，\;-\frac{2}{3}）$．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$，其中：λ₁，λ₂∈（0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{{（{λ_1}+1）（-4t）-\frac{1}{3}}}{λ_1}\\{y_1}=\frac{{（{λ_1}+1）t-\frac{2}{3}}}{λ_1}\end{array}\right.$，代入橢圓方程并整理得，$（{λ_1}+1）•18{t^2}={λ_1}-1$，
同理得，（λ₂+1）•18t²=λ₂-1，
兩式相減得：（λ₁-λ₂）•（18t²-1）=0．
∵點(diǎn)P（-4t，t）在橢圓E內(nèi)部，
∴18t²＜1，
∴λ₁=λ₂，
∴CD∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程，利用向量共線(xiàn)定理證明兩直線(xiàn)平行，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，考查綜合分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．