Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，有xf′（x）＜f（-x）成立．（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=

1

4

f（

1

4

），b=f（1），c=log₂

1

4

f（log₂

1

4

）則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、c＞b＞a
• C、b＞a＞c
• D、c＞a＞b

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由“當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式xf′（x）＜f（-x），即f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是減函數(shù)，要得到a，b，c的大小關(guān)系，只要比較

1

4

，1，|log₂

1

4

|的大小即可．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式xf′（x）＜f（-x），即f（x）+xf′（x）＜0成立，
即：（xf（x））′＜0，
∴xf（x）在 （-∞，0）上是減函數(shù)．
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴xf（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴xf（x）在 （0，+∞）上是增函數(shù)．
又∵|log₂

1

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|＞1＞

1

4

，
∴l(xiāng)og₂

1

4

f（log₂

1

4

）＞f（1）＞

1

4

f（

1

4

），
即：c＞b＞a，
故選：B

點(diǎn)評：本題主要考查由已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)用原函數(shù)的性質(zhì)來研究新函數(shù)．是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．