Question

19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosB），$\overrightarrow n$=（a，2c-b），$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（I）求角A的大小；
（II）若a=2$\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)平面向量的共線定理，利用正弦定理，即可求出A的值；
（2）根據(jù)余弦定理，利用基本不等式，即可求出三角形面積的最大值．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosB），$\overrightarrow n$=（a，2c-b），$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
∴（2c-b）cosA=acosB，
由正弦定理得：（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
整理得2sinCcosA=sin（A+B）=sinC；
在△ABC中，sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），故$A=\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理，cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又a=2$\sqrt{5}$，∴b²+c²-20=bc≥2bc-20，
得bc≤20，當且僅當b=c時取到“=”；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$，
所以三角形面積的最大值為5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量的共線定理和正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．