Question

【題目】某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板，其中頂點、在半徑上，頂點在半徑上，頂點在上， ， .設(shè)，矩形的面積為.

（1）用含的式子表示， 的長；

（2）試將表示為的函數(shù)；

（3）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）, ;（2） （）;（3）.

【解析】試題分析：(1)直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可表示出 的值；(2 )求出,代入面積公式得出S關(guān)于的函數(shù)；(3)利用二倍角公式及輔助角公式，三角恒等變換化簡,根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值.

試題解析：（1）因為，四邊形是矩形，

所以在中， .

所以.

在中， .

（2）在中， .

所以.

所以

（）.

（3）因為 ，

（），

所以，當，即時， 取得最大值.

【方法點晴】本題考查的知識點比較多，主要考查等比數(shù)列的定義、余弦定理及三角函數(shù)的最值，屬于難題.求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值；③型，可化為求最值 .本題（3）是利用方法③的思路解答的.