Question

17．已知α為第二象限角，sinα=$\frac{3}{5}$，β為第一象限角，cosβ=$\frac{5}{13}$，則tan（2α-β）的值為$\frac{204}{253}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，可得tanα、tanβ的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，利用兩角和差的正切公式，求得tan（2α-β）的值．

解答 解：∵α為第二象限角，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=-$\frac{24}{7}$．
∵β為第一象限角，cosβ=$\frac{5}{13}$，
∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{12}{5}$，
則 tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{24}{7}-\frac{12}{5}}{1-\frac{24}{7}•\frac{12}{5}}$=$\frac{204}{253}$，
故答案為：$\frac{204}{253}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．