Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD，AD∥BC，AD=2BC=4，AB=2$\sqrt{3}$，∠BAD=90°，M，O分別為CD和AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD．
（I）求證：平面PBM⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在線段PM上一點(diǎn)N，使得ON∥平面PAB，若存在，求$\frac{PN}{PM}$的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)MO并延長交AB于E，設(shè)AC，BM的交點(diǎn)為F．則OM$\stackrel{∥}{=}$BC，故△BCF≌△MOF，于是CF=$\frac{1}{4}AC$，BF=$\frac{1}{2}$BM，根據(jù)勾股定理求出AC，BM的值得出BF，CF，由勾股定理得逆定理得出BF⊥CF，又由PO⊥平面ABCD得PO⊥BF，故BF⊥平面PAC，于是平面PBM⊥平面PAC；
（II）連結(jié)PE，則當(dāng)ON∥平面PAB時(shí)，ON∥PE，故當(dāng)$\frac{MN}{MP}=\frac{MO}{ME}=\frac{2}{3}$時(shí)，結(jié)論成立．

解答 解：（I）連結(jié)MO并延長交AB于E，設(shè)AC，BM的交點(diǎn)為F．
∵M(jìn)，O是CD，AC的中點(diǎn)，∴MO∥AD∥BC，MO=$\frac{1}{2}AD=2$，
∴E是AB的中點(diǎn)，BE=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$．
∴ME=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=3．
∴BM=$\sqrt{B{E}^{2}+M{E}^{2}}=2\sqrt{3}$．
∵M(jìn)O∥BC，MO=BC，
∴△BCF≌△MOF，
∴BF=$\frac{1}{2}$BM=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{4}AC$．
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4，∴CF=1．
∴BF²+CF²=BC²，∴BF⊥CF，即BM⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PO⊥BM，又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BM⊥平面PAC，又BM?平面PBM，
∴平面PBM⊥PAC．
（II）當(dāng)N為PM靠近P點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，ON∥平面PAB．
證明：連結(jié)PE，由（I）可知MO=2，EM=3，
∴$\frac{MO}{ME}=\frac{MN}{PM}=\frac{2}{3}$，
∴ON∥PE，又ON?平面PAB，PE?平面PAB，
∴ON∥平面PAB．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，線面平行的判定，屬于中檔題．