Question

3．在△ABC中．
（1）若tanA與tanB是方程6x²-5x+1=0的兩個(gè)根，求角C；
（2）若C=90°，求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用韋達(dá)定理，兩角和差的正切公式，求得 tan（A+B）的值，可得A+B的值，從而求得C的值．
（2）由條件利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的值域求得sinA•sinB的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，若tanA與tanB是方程6x²-5x+1=0的兩個(gè)根，則tanA+tanB=$\frac{5}{6}$，tanA•tanB=$\frac{1}{6}$，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}$=1，∴A+B=$\frac{π}{4}$，∴C=π-A-B=$\frac{3π}{4}$．
（2）若C=90°，則A+B=90°，∴sinA•sinB=sinAsin（90°-A）=sinAcosA=$\frac{1}{2}$sin2A≤$\frac{1}{2}$，
故它的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查韋達(dá)定理，兩角和差的正切公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．