Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+{x^2}（a＞0）$．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x₀∈（-1，0），且${x_0}≠-\frac{1}{2}$，使得$f（{x_0}）=f（-\frac{1}{2}）$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組，結(jié)合圖象解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ax²+2x，
令f′（x）=0得x₂=0，${x_3}=-\frac{2}{a}$．

x	$（-∞，-\frac{2}{a}）$	$-\frac{2}{a}$	$（-\frac{2}{a}，0）$	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數(shù)y=f（x）的極大值為$f（-\frac{2}{a}）=\frac{1}{3}a•{（-\frac{2}{a}）^3}+{（-\frac{2}{a}）^2}=\frac{4}{{3{a^2}}}$； 
極小值為f（0）=0．…（8分）
（Ⅱ） 若存在${x_0}∈（-1，-\frac{1}{2}）∪（-\frac{1}{2}，0）$，使得$f（{x_0}）=f（-\frac{1}{2}）$，
則由（Ⅰ）可知，需要$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{a}＜-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{a}＞-1\\ f（-1）＜f（-\frac{1}{2}）\end{array}\right.$（如圖1）或$-\frac{3}{a}＜-\frac{1}{2}＜-\frac{2}{a}$（如圖2）
（圖1），

（圖2），
于是可得$a∈（\frac{18}{7}，4）∪（4，6）$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．