Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)得到f′（x）=3x²-2ax+b，這樣根據(jù)切點在曲線上，以及函數(shù)在切點處的導數(shù)即此處切線的斜率便可建立關于a，b的方程組，解方程組得出a=-9，b=-21；
（2）解f′（x）=0即可得出x=-7，或1，這樣便可判斷導數(shù)f′（x）在x＜-7，-7＜x＜1，及x＞1時的符號，從而便可判斷f（x）是否取到極值，并求出極值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b；
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-2a+b=-12}\\{-11=1-a+b}\end{array}\right.$；
解得a=3，b=-9；
（2）f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9；
∴解f′（x）=0得，x=3或-1；
∴x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜3時，f′（x）＜0，x＞3時，f′（x）＞0；
∴x=-1時，f（x）有極大值5，x=3時，f（x）有極小值-27；
即函數(shù)f（x）的極值為5和-27．

點評 考查切點在函數(shù)圖象上，從而切點的坐標滿足函數(shù)解析式，以及函數(shù)在切點處的導數(shù)為切線的斜率，函數(shù)極值的概念以及根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)極值的方法和過程．