Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x）．函數(shù)f（x）=-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸方程
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式，以及二倍角公式，兩角差的正弦公式，化簡得到f（x），根據(jù)周期的定義和對稱軸的定義即可期求出；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；
（3）先判斷單調(diào)性，即可求出最值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x）．
∴函數(shù)f（x）=-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-（$\sqrt{3}$cosxsinx-$\frac{1}{2}$cos2x）=-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π和對稱軸方程x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]上為減函數(shù)，在[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z，上為增函數(shù)，
（3）由（2）可知，函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]為減函數(shù)，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，f（x）有最小值，最小值為f（$\frac{π}{3}$）=-1，
f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{2}$）=1，f（$\frac{π}{2}$）=-sin（$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查向量坐標(biāo)計算公式、二倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性周期對稱軸最值，屬于中檔題．