Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB=$\sqrt{2}$，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）求證：SB⊥平面SAD；
（2）求二面角D-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出SB⊥AD，SA⊥SB，由此能證明SB⊥平面SAD．
（2）以O(shè)為原點，OA，OE，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-SC-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵平面SAB⊥底面ABCD，面SAB∩平面ABCD=AB，
DA⊥AB，DA?面ABCD，
∴DA⊥平面SAB，SB?平面SAB，∴SB⊥AD，
又SA=SB=$\sqrt{2}$，AB=2，∴SA⊥SB，SA∩AD=A，
∴SB⊥平面SAD．
解：（2）過點S作SO⊥AB于O，則SO⊥底面ABCD，
過O作OE∥AD，
以O(shè)為原點，OA，OE，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（-1，0，0），C（-1，3，0），D（1，1，0），S（0，0，1），
∴$\overrightarrow{SD}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DC}$=（-2，2，0），
設(shè)平面SCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
設(shè)平面SBC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{SB}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，3，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=-a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
由圖形得二面角D-SC-B的平面角是鈍角，
∴二面角D-SC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．