11.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD和BC,平面SAB⊥底面ABCD,且SA=SB=$\sqrt{2}$,AD=1,AB=2,BC=3.
(1)求證:SB⊥平面SAD;
(2)求二面角D-SC-B的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出SB⊥AD,SA⊥SB,由此能證明SB⊥平面SAD.
(2)以O(shè)為原點(diǎn),OA,OE,OS所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角D-SC-B的余弦值.

解答 證明:(1)∵平面SAB⊥底面ABCD,面SAB∩平面ABCD=AB,
DA⊥AB,DA?面ABCD,
∴DA⊥平面SAB,SB?平面SAB,∴SB⊥AD,
又SA=SB=$\sqrt{2}$,AB=2,∴SA⊥SB,SA∩AD=A,
∴SB⊥平面SAD.
解:(2)過點(diǎn)S作SO⊥AB于O,則SO⊥底面ABCD,
過O作OE∥AD,
以O(shè)為原點(diǎn),OA,OE,OS所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(-1,0,0),C(-1,3,0),D(1,1,0),S(0,0,1),
∴$\overrightarrow{SD}$=(1,1,-1),$\overrightarrow{DC}$=(-2,2,0),
設(shè)平面SCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,2),
設(shè)平面SBC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
$\overrightarrow{SB}$=(-1,0,-1),$\overrightarrow{BC}$=(0,3,0),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=-a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3b=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,0,-1),
cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$,
由圖形得二面角D-SC-B的平面角是鈍角,
∴二面角D-SC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.通過隨機(jī)詢問多名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動,建立列聯(lián)表后,由K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$算得:K2=7.8,附表如下:
P(K2≥K)0.0500.0100.001
K3.8416.63510.828
參照附表:得到的正確結(jié)論是(  )
A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”
C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”
D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.已知非零單位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|,則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$的夾角是     ( 。
A.$\frac{3π}{4}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{π}{4}$D.$\frac{π}{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.在ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,則△ABC的外接圓的直徑是5$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖(1),在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn),且AB=EF=2,CD=6,M為BC中點(diǎn),現(xiàn)將梯形BEFC沿EF所在直線折起,使平面EFCB⊥平面EFDA,如圖(2)所示,N是線段CD上一動點(diǎn),且CN=λND.
(Ⅰ)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時,求證:MN∥平面ADFE;
(Ⅱ)當(dāng)λ=1時,求二面角M-NA-F的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).x=0是f(x)的極值點(diǎn),則m=1,函數(shù)的增區(qū)間為(0,+∞)減區(qū)間為(-1,0).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.某校高一、高二和高三年級分別有學(xué)生1000名、800名、700名,現(xiàn)運(yùn)用分層抽樣的方法從中抽取容量為100的樣本,則抽出的高二年級的學(xué)生人數(shù)為32.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知命題p:(x-3)(x+1)<0,命題q:$\frac{x-2}{x-4}$<0,命題r:a<x<2a,其中a>0.若p∧q是r的充分條件,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動技術(shù)比賽,決出第一名到第五名的名次.甲乙兩名參賽者去詢問成績,回答者對甲說“很遺憾,你沒有得到冠軍”;對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”,從上述回答分析,5人的名次排列可能有78種不同情況.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案