Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m）．x=0是f（x）的極值點(diǎn)，則m=1，函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）減區(qū)間為（-1，0）．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，
（2）將m代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m），
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+m}$，
又∵x=0是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（0）=1-$\frac{1}{m}$=0，解得m=1．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1），其定義域?yàn)椋?1，+∞）．
∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x+1）-1}{x+1}$．
設(shè)g（x）=e^x（x+1）-1，
則g′（x）=e^x（x+1）+e^x＞0，
則g（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
又∵g（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．
故f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；
故答案為：1，（0，+∞），（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵．