Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，a₃=7，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）證明

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，由已知求得等差數(shù)列的公差和公比，則a_n與b_n可求；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，把

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

利用裂項(xiàng)相消法化簡后放縮得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，
則an=3+(n-1)d，bn=2qn-1，
∴a₃=3+2d=7，d=2．
再由b₂S₂=32，得2q（6+2）=32，∴q=2．
∴an=2n+1，bn=2n；

（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+…+a_n=

(3+2n+1)n

2

=n(n+2)，
∴

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．