Question

2．已知命題p：f（x）=x+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；命題q：f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有極值．若命題“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$．由f（x）=x+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，可得f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即可得出a的取值范圍．命題p：A={a|a≤1}．命題q：f′（x）=3x²+2ax+3．要使得f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有極值，則f′（x）=3x²+2ax+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可得△＞0．由命題“p∨q”為真命題，可得p與q都為真命題．

解答 解：命題p：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$．∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤（x²）_min，∴a≤1．
命題p：A={a|a≤1}．命題q：f′（x）=3x²+2ax+3．
要使得f（x）=x³+ax²+3x+1在R上有極值，
則f′（x）=3x²+2ax+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
△=4a²-4×3×3＞0，解得a＜-3或a＞3．
命題q：B={a|a＜-3，或a＞3}．
∵命題“p∨q”為真命題，∴A∪B={a|a≤1，或a＞3}．
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．