Question

10．已知兩數f（x）=alnx-x²，若對區(qū)間（0，1）內任意兩個實數x₁，x₂，且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立．則實數a的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 設0＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1等價于f（x₁）-f（x₂）＜（x₁-x₂），可得f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，因此g（x）=f（x）-x=alnx-x²-x，在區(qū)間（0，1）單調遞增，求導，分離參數可知a＞2x²+x（0＜x＜1）恒成立，根據二次函數的性質即可求得實數a的取值范圍

解答 解：不妨設0＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1等價于f（x₁）-f（x₂）＜（x₁-x₂），
∴f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，
即g（x）=f（x）-x=alnx-x²-x，在區(qū)間（0，1）單調遞增，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2x＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2x²+x（0＜x＜1）恒成立，
則h（x）=2x²+x=2（x+$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$；
∵y=h（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，
∴y=h（x）在（0，1）上是單調增函數，
故有h（x）＜h（1）=3
∴a≥3，即實數a的取值范圍是[3，+∞）．
故答案為：[3，+∞）．

點評 本題考查函數的性質及導數的應用，考查等價轉化思想．構造函數思想與恒成立問題，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．