Question

10．已知兩數(shù)f（x）=alnx-x²，若對(duì)區(qū)間（0，1）內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1等價(jià)于f（x₁）-f（x₂）＜（x₁-x₂），可得f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，因此g（x）=f（x）-x=alnx-x²-x，在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增，求導(dǎo)，分離參數(shù)可知a＞2x²+x（0＜x＜1）恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1等價(jià)于f（x₁）-f（x₂）＜（x₁-x₂），
∴f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，
即g（x）=f（x）-x=alnx-x²-x，在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2x＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2x²+x（0＜x＜1）恒成立，
則h（x）=2x²+x=2（x+$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$；
∵y=h（x）的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，
∴y=h（x）在（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，
故有h（x）＜h（1）=3
∴a≥3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．
故答案為：[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．構(gòu)造函數(shù)思想與恒成立問題，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．