Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-ax²．
（Ⅰ）當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
（II）判斷l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，進而可得證$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$（n≥2，n∈N^*），即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），
令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），
g'（x）=e^x+a，g（0）=0．
當(dāng)a≥-1時，g'（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時，f（x）≥0恒成立．
當(dāng)a＜-1時，令g'（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）．
當(dāng)x∈（0，ln（-a））時，g'（x）＜0，
g（x）在（0，ln（-a））上是減函數(shù)，
而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，ln（-a））時，g（x）＜0，即f（x）＜0．
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）；
（Ⅱ）證明：要證：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）成立；
只須證$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$（n≥2，n∈N^*，）
即證lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面證明此式．
證明：令a=1此時f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
故結(jié)論成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題，屬于中檔題．