Question

11．在△ABC中，|AB|=4，|AC|=3，若D為線段BC的中點，且滿足$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，則$\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}）$的值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用向量表示出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$，計算$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$），再求$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）的結(jié)果即可．

解答 解：如圖所示，
BC的中點為D，則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$，
可得$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{CB}$=0；
∴$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$）+$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{CB}$
=$\frac{1}{2}$×（4²-3²）+0
=$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．