Question

2．若函數(shù)f（x）=$\frac{a-sinx}{cosx}$在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 可求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$，而根據(jù)f（x）在區(qū)間$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上單調(diào)遞增即可得出$a≥\frac{1}{sinx}$在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立，而可求出sinx在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上的范圍，從而便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$；
∵f（x）在區(qū)間$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上單調(diào)遞增；
∴f′（x）≥0在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
即asinx-1≥0在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
即$a≥\frac{1}{sinx}$在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
∵$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，∴$\frac{1}{2}＜sinx＜\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{2}{\sqrt{3}}＜\frac{1}{sinx}＜2$；
∴a≥2；
∴實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
故選A．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及商的導(dǎo)數(shù)的計算公式，不等式的性質(zhì)，能求正弦函數(shù)在一區(qū)間上值域．