Question

8．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C₂：$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{2}$=1．
（Ⅰ）寫出C₁的普通方程與C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（以α為參數(shù)），并指出它是什么曲線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程，利用平方關(guān)系可得曲線C₂的參數(shù)方程．（Ⅱ）由曲線C₁的普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，設(shè)A（sin²α，-sinαcosα）故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}si{n}^{2}α}\\{y=-\frac{1}{2}sinαcosα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用倍角公式與平方關(guān)系化簡可得P點(diǎn)軌跡的普通方程．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，
由曲線C₂：$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{2}$=1可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅱ）由曲線C₁的普通方程：xsinα-ycosα-sinα=0，設(shè)A（sin²α，-sinαcosα），
故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}si{n}^{2}α}\\{y=-\frac{1}{2}sinαcosα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），P點(diǎn)軌跡的普通方程為$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+y²=$\frac{1}{16}$．
故P點(diǎn)軌跡是圓心為$（\frac{1}{4}，0）$，半徑為$\frac{1}{4}$的圓．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、倍角公式與平方關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．