Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{2}$a_n-4n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用作差法即可證明數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用累加法即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)?a_n-3S_n=2，①
所以當(dāng)n=1時(shí)，4a₁-3S₁=2，解得a₁=2；               
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n-1-3S_n-1=2，②…3 分
由①-②，得4a_n-4a_n-1-3（S_n-S_n-1）=0，
所以a_n=4a_n-1，
由a₁=2，得a_n≠0，
故{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a_n=2×4^n-1．
所以b_n=$\frac{1}{2}$a_n-4n=4^n-1-4n，
則{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（4⁰+4¹+…+4^n-1）-4（1+2+3+…+n）=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$-4×$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{4}^{n}}{3}$-2n²-2n-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明，注意利用a_n=S_n-S_n-1時(shí)，必須驗(yàn)證n=1的情形，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．