Question

19．已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（Ⅲ）若存在a∈[-3，0]，使得函數(shù)f（x）在[-4，5]上恒有三個零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，作出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時，先求出f（1）=f（4），然后利用數(shù)形結(jié)合即可函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（3）利用參數(shù)分離法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時，f（x）=x|x+2|+b=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+b，x≥-2}\\{{-x}^{2}-2x+b，x＜-2}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)g（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax{=（x-\frac{a}{2}）}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax{-x}^{2}={-（x-\frac{a}{2}）}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
由于a＞0且1≤x≤4，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，
若f（1）=f（4），
即g（1）=g（4），
則|1-a|=4|4-a|，
平方得1-2a+a²=16×16-16×8a+16a²，
即5a²-42a+85=0，
得a=5或a=$\frac{17}{5}$，
當(dāng)0＜a≤$\frac{17}{5}$時，g（4）≥g（1），此時g（4）最大，即f（4）最大，最大值為f（4）=4|4-a|+b=16-4a+b，
若$\frac{17}{5}$＜x＜4時，g（4）＜g（1），此時g（1）最大，即f（1）最大，最大值為f（1）=|1-a|+b=1-a+b，
若a≥4時，g（4）＞g（1），此時g（4）最大，即f（4）最大，最大值為f（2）=4|4-a|+b=4a-16+b，（3）若存在a∈[-3，0]，使得函數(shù)f（x）在[-4，5]上恒有三個零點(diǎn)，
則存在a∈[-3，0]，使得b=-x|x-a|有三個不同的實(shí)根；
令g（x）=-x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+ax，x≥a}\\{{x}^{2}-ax，x＜a}\end{array}\right.$，
（ⅰ）當(dāng)a=0時，g（x）在[-4，5]上單調(diào)遞減，故b無解；
（ⅱ）當(dāng)-3≤a＜0時，g（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，在[a，$\frac{a}{2}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，g（5）=5a-25，
∴g（-4）-g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{-（a-8）}^{2}+128}{4}$＞0，g（a）-g（5）=25-5a＞0，
∴0＜b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴0＜b＜$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．