Question

14．已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=3，a₄=12，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}為等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求解數(shù)列的和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得
d=$\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}$=$\frac{12-3}{3}$=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n（n=1，2，…）．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=3n；
設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，由題意得：
q³=$\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}$=$\frac{20-12}{4-3}$=8，解得q=2．
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）q^n-1=2^n-1．
從而b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為：b_n=3n+2^n-1；
（2）由（1）知b_n=3n+2^n-1（n=1，2，…）．
數(shù)列{3n}的前n項和為$\frac{3}{2}$n（n+1），數(shù)列{2^n-1}的前n項和為$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{3}{2}$n（n+1）+2ⁿ-1．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，考查了利用分組求和的方法求解數(shù)列的前n項和，是中檔題．