Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，其離心率為

2

2

，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓C過點(diǎn)（0，

2

2

），P是橢圓C上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P處作橢圓C的切線l，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂到l的距離分別為d₁，d₂．探究：d₁•d₂是否為定值？若是，求出定值；若不是說明理由（提示：橢圓mx²+ny²=1在其上一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程是mx₀x+ny₀y=1）；
（3）求（2）中d₁+d₂的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題，

c

a

=

1-( b a )2

=

2

2

⇒(

b

a

)2=

1

2

，利用橢圓C與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），分類討論求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）確定橢圓C方程為x²+2y²=1，設(shè)P（m，n），則l的方程是mx+2ny=1，求出d₁•d₂，結(jié)合m²+2n²=1，即可得出結(jié)論；
（3）先化簡(jiǎn)d₁+d₂，再求d₁+d₂的取值范圍．

解答： 解：（1）由題，

c

a

=

1-( b a )2

=

2

2

⇒(

b

a

)2=

1

2

，
因?yàn)闄E圓C與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則
若a=1，則b2=

1

2

，則橢圓C方程為x²+2y²=1；
若b=1，則a²=2，則橢圓C方程為x2+

y2

2

=1．
故所求為x2+

y2

1 2

=1或x2+

y2

2

=1；
（2）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(0，

2

2

)，故橢圓C方程為x²+2y²=1，且F1(-

2

2

，0)，F2(

2

2

，0)
設(shè)P（m，n），則l的方程是mx+2ny=1，
則d1•d2=

|- 2 2 m-1|

m2+4n2

| 2 2 m-1|

m2+4n2

=

|1- 1 2 m2|

m2+4n2

，
因?yàn)?1≤m≤1，所以1-

1

2

m2＞0，
故d1•d2=

1- 1 2 m2

m2+4n2

，
又因?yàn)閙²+2n²=1，代入可得d1d2=

1

2

，故d₁•d₂為定值

1

2

；
（3）由題d1+d2=

|- 2 2 m-1|

m2+4n2

+

| 2 2 m-1|

m2+4n2

=

1+ 2 2 m+1- 2 2 m

m2+4n2

=

2

m2+4n2

=

2

1+2n2

因?yàn)?span id="dbagqar" class="MathJye">0≤n2≤

1

2

，所以d₁+d₂∈[

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．