Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．$g（x）=-{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}-4x+\frac{3}{2}$
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求證：?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，$f'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，f（x）_min=f（1）=0，g（x）_max=g（1）＜0，由此能證明當(dāng)a=1時(shí)，?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）．
（2）由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，f（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 證明：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²-x-ln x，
$f'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=0，
g'（x）=-3x²+5x-4＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，g（x）_max=g（1）＜0
∴當(dāng)a=1時(shí)，?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）…（5分）
解：（2）由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，…（6分）
∴f（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，…（7分）
令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）2}$＞0，…（8分）
x∈[1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴x∈[1，+∞）h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
∴a的取值范圍是（-∞，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．