Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}+alnx$，g（x）=f（x）+ax-lnx．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)t，使g（x）≥t對(duì)任意的a∈[1，e]和任意的x∈（0，+∞）都成立，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷；
（Ⅰ）方法1：先求導(dǎo)，求出g（x）取得最小值，再構(gòu)造關(guān)于a的導(dǎo)數(shù)h（a）=a+（1-a）lna+1，分別求兩次導(dǎo)數(shù)，得到h（a）在a∈[1，e]有最大值h（a₀），根據(jù)h（1）=2，h（e）=2，得到g（x）的最小值$g（\frac{1}{a}）$∈[2，h（a₀）]，問題得以解決；
方法2，$g（x）=\frac{1}{x}+（a-1）lnx+ax$，h'（a）=x+lnx，設(shè)k（x）=x+lnx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的得到h（a）最小值是$h（e）=ex+elnx+\frac{1}{x}-lnx$，再構(gòu)造函數(shù)$m（x）=ex+elnx+\frac{1}{x}-lnx$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，繼而得到h（a）的最小值，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定義域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{ax-1}{x^2}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，$f'（x）=\frac{ax-1}{x^2}＜0$，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0得函數(shù)f（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0得函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞減；
（Ⅱ）方法1：$g（x）=\frac{1}{x}+（a-1）lnx+ax$，g（x）定義域是（0，+∞），
$g'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{a-1}{x}+a=\frac{（ax-1）（x+1）}{x^2}$，
因?yàn)閍∈[1，e]，
所以$x∈（0，\frac{1}{a}）$時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)$x=\frac{1}{a}$時(shí)，g（x）取得最小值$g（\frac{1}{a}）=a+（1-a）lna+1=h（a）$，
設(shè)$h'（a）=\frac{1}{a}-lna$，$h''（a）=-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}$，
因?yàn)閍∈[1，e]，所以h''（a）＜0，h'（a）在a∈[1，e]單調(diào)遞減，
因?yàn)閔'（1）=1＞0，$h'（e）=\frac{1}{e}-1＜0$，
所以存在a₀∈[1，e]，使得h（a）在[1，a₀]單調(diào)遞增，在[a₀，e]單調(diào)遞減，h（a）在a∈[1，e]有最大值h（a₀），
因?yàn)閔（1）=2，h（e）=2，
所以g（x）的最小值$g（\frac{1}{a}）$∈[2，h（a₀）]
因此使g（x）≥t恒成立的常數(shù)t的取值范圍是（-∞，2]．
方法2：$g（x）=\frac{1}{x}+（a-1）lnx+ax$，h'（a）=x+lnx，
設(shè)k（x）=x+lnx，顯然k（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
因?yàn)?k（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}-ln2=ln\sqrt{e}-ln2＜0$，k（1）=1＞0，
所以存在x₀∈（0，1），使k（x₀）=x₀+lnx₀=0，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h'（a）=x+lnx＜0，h（a）在[1，e]遞減，h（a）最小值是$h（e）=ex+elnx+\frac{1}{x}-lnx$，
設(shè)$m（x）=ex+elnx+\frac{1}{x}-lnx$，
$m'（x）=\frac{（ex-1）（x+1）}{x^2}$，
m（x）在$（0，\frac{1}{e}）$遞減，在$（\frac{1}{e}，+∞）$遞增，
所以m（x）有最小值$m（\frac{1}{e}）=2$，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h'（a）=x+lnx＞0，
h（a）在[1，e]遞增，h（a）最小值是$h（1）=x+\frac{1}{x}≥2$，
綜上g（x）≥2，所以使g（x）≥t恒成立的常數(shù)t的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題