Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，S₃=14，a₁•a₅=8a₃，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，b_n+b_n+1=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出；
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵${a_1}•{a_5}=a_3^2=8{a_3}，{a_n}＞0$，（1分）
∴a₃=8，（2分）
又S₃=a₁+a₂+8=14，∴${a_1}+{a_2}=\frac{8}{q^2}+\frac{8}{q}=6$，（3分）
解得q=2或$q=-\frac{2}{3}$（舍去），（5分）
所以${a_n}={a_3}•{q^{n-3}}={2^n}$．（6分）
（2）∵${b_n}+{b_{n+1}}={log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，（8分）
∴T_2n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）=1+3+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．（12分）

點(diǎn)評 本小題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、基本性質(zhì)及求數(shù)列前n項(xiàng)和、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．