Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，CB=CA=$\frac{1}{2}$AD=1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，sin∠BCD=$\frac{3}{5}$．
（1）求證：AC⊥CD；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可分別求得AC，CD和AB，利用$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)求得cos∠DAC的值，進(jìn)而求得∠DAC，進(jìn)而利用余弦定理求得DC的長．
求得BC²+AC²=AB²．判斷AC⊥CD，
（2）在直角三角形中求得cos∠ACB的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系氣的sin∠ACB，然后利用三角形面積公式求得三角形ABC和ACD的面積，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACB中利用余弦定理求得AB的長，最后利用正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（1）CB=CA=$\frac{1}{2}$AD=1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overline{DA}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{DA}$|•cosA=1×2•cos∠CAD=1，
∴cos∠CAD=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAD=$\frac{π}{3}$
由余弦定理CD²=AC²+AD²-2AD•ACcos∠CAD=1+4-2×2×$\frac{1}{2}$=3．
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴AD²=AC²+CD²，
∴∠ACD=$\frac{π}{2}$．
∴AC⊥CD，
（2）由（1）∠ACD=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠BCD=sin（$\frac{π}{2}$+∠ACB）=cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACB=$\frac{4}{5}$．
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{2}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）在△ACB中，
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=1+1-2×1×1×$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{5}$．
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AB}{sin∠ACD}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{AC•sin∠ACD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

點評 本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運算能力．