Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2處取得極大值6，在x=1處取得極小值．
（1）求a，b，c的值；       
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間[-3，3]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6，在x=1時(shí)有極小值得到三個(gè)方程求出a、b、c；
（2）令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1；f′（x）＜0，可得-2＜x＜1，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在區(qū)間[-3，3]上討論函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-2．由條件知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=12a-4b-2=0}\\{f′（1）=3a+2b-2=0}\\{f（-2）=-8a+4b+4+c=6}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{8}{3}$；
（2）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1；f′（x）＜0，可得-2＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-2，1）；
（3）由（2）可得函數(shù)在（-3，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，
∵f（-3）=$\frac{25}{6}$，f（-2）=6，f（1）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{61}{6}$
∴在區(qū)間[-3，3]上，當(dāng)x=3時(shí)，f_max=$\frac{61}{6}$；當(dāng)x=1，f_min=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性的能力，屬于中檔題．