Question

5．設(shè)f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且a≤f（x）≤b，試問(wèn)：在[a，b]中是否存在常數(shù)c，使得f（c）=c．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，根據(jù)根的存在性定理進(jìn)行證明即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù) g（x）=f（x）-x 顯然 g（x） 在[a，b]上的圖象也是一條連續(xù)不斷的曲線，
因?yàn)樵赱a，b]上總有a≤f（x）≤b，
所以在[a，b]上總有 a-x≤f（x）-x≤b-x，
即在[a，b]上總有a-x≤g（x）≤b-x，
所以g（a）≥a-a=0，
g（b）≤b-b=0，
所以由根的存在性定理得在[a，b]上至少有一個(gè)解，
即方程f（x）-x=0 在[a，b]上至少有一個(gè)解，
即在[a，b]上至少有一個(gè)常數(shù) c，使得 f（c）-c=0，即f（c）=c．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在的定理是解決本題的關(guān)鍵．