Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n+1=3a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（2n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得出{a_n}為等比數(shù)列，求出首項和公比即可得出a_n；
（2）使用錯位相減法求和．

解答 解：（1）當n=1時，2a₁+1=3a₁，∴a₁=1．
當n≥2時，由2S_n+1=3a_n，得2S_n-1+1=3a_n-1，
兩式相減得2a_n=3a_n-3a_n-1，即a_n=3a_n-1．
∴{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=（2n+1）3^n-1，
∴T_n=3•3⁰+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1，
∴3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ，
∴-2T_n=3+2•3+2•3²+2•3⁴+…+2•3^n-1-（2n+1）•3ⁿ，
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）•3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判定與性質，錯位相減法的應用，屬于中檔題．