Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：第一問(wèn)首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)既在切線上，又在函數(shù)圖像上，從而利用相應(yīng)的公式求得切線方程；第二問(wèn)從函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的是其導(dǎo)數(shù)等于零有兩個(gè)不相等的正根，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其走向，分類討論證得結(jié)果.

詳解：（1）∵，∴，解得，

∴，故切點(diǎn)為，

所以曲線在處的切線方程為．

（2），令，得．

令，則，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．

令，得，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故在遞增，在遞減，所以．

所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；

時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)．

綜上，的取值范圍是．

因?yàn)?/span>是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以即…①

不妨設(shè)，則，，

因?yàn)?/span>在遞減，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．