Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=（n+1）²（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為 S_n=$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=（n+1）²（n∈N^*），
∴2a₁=2²，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=n²，可得：2ⁿa_n=2n+1，
∴a_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{2n+1}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
則n=1時(shí)，S₁=2．
n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{5}{{2}^{2}}$+2$（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=2$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$+$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{11}{4}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．（n=1時(shí)也成立）．
故答案為：$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．