Question

19．如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=4x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）寫出直線l的方程．
（2）求x₁x₂與y₁y₂的值．
（3）求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程．
（2）把y=k（x-4）代入y²=4x，消去y，利用我的掉了求x₁x₂與y₁y₂的值．
（3）證明$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，即可證明OM⊥ON．

解答 （1）解：過(guò)點(diǎn)P（4，0）且斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-4）．…（3分）
（2）解：把y=k（x-4）代入y²=4x，消去y得 k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
由于直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，
故k²≠0且△＞0，
x₁•x₂=16，而y₁•y₂＜0，∴y₁•y₂=-16．…（8分）
（3）證明：∵$\overrightarrow{OM}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{ON}$=（x₂，y₂），∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=16-16=0．
∴$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴OM⊥ON．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．