Question

某市舉辦歌唱比賽，邀請(qǐng)了A、B、C、D四位資深音樂(lè)人擔(dān)任評(píng)委，按照節(jié)目程序，每一位選手取得決賽資格后可通過(guò)抽簽的方式選擇一位評(píng)委作為導(dǎo)師，且他們對(duì)導(dǎo)師的選擇是相互獨(dú)立的，某組共有甲、乙、丙、丁四位選手取得了決賽資格，獲得了選擇導(dǎo)師的機(jī)會(huì)．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人都選擇A為導(dǎo)師的概率；
（Ⅱ）求四位選手至少有一人選擇B作為導(dǎo)師的概率；
（Ⅲ）設(shè)四位選手選擇C為導(dǎo)師的人數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）依題意知，每位選手選擇每位明星作為導(dǎo)數(shù)的概率是

1

4

，設(shè)“甲、乙、丙三人都選擇A為導(dǎo)師”為事件A，由此能求出甲、乙、丙三人都選擇A為導(dǎo)師的概率．
（Ⅱ）設(shè)“四位選手都不選擇B作為導(dǎo)師”為事件B，由此能求出四位選手至少有一人選擇B作為導(dǎo)師的概率．
（Ⅲ）依題意ξ～（4，

1

4

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）依題意知，每位選手選擇每位明星作為導(dǎo)數(shù)的概率是

1

4

，
設(shè)“甲、乙、丙三人都選擇A為導(dǎo)師”為事件A，
則P（A）=

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

64

，
∴甲、乙、丙三人都選擇A為導(dǎo)師的概率為

1

64

．
（Ⅱ）設(shè)“四位選手都不選擇B作為導(dǎo)師”為事件B，
則P（B）=

3

4

×

3

4

×

3

4

×

3

4

=

81

256

，
∴四位選手至少有一人選擇B作為導(dǎo)師的概率是：
P（

.

B

）=1-P（B）=1-

81

256

=

175

256

．
（Ⅲ）依題意ξ～（4，

1

4

），
∴ξ的分布列為P（ξ=k）=

C

k 4

×(

1

4

)k×(

3

4

)4-k=

C

k 4

×

34-k

256

，
k=0，1，2，3，4，

ξ	0	1	2	3	4
P	81 256	27 64	27 128	3 64	1 256

∴Eξ=4×

1

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．