Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）若關于X的方程f（x）=a有三個不同的實根，求實數a=的取值范圍；
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立．求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數的零點與方程根的關系,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，求出函數f（x）的極大值為5+4

2

，極小值為5-4

2

，利用關于X的方程f（x）=a有三個不同的實根，即可求實數a的取值范圍；
（2）因為x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可轉化為k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，再化簡k≤

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答： 解：（1）f′(x)=3x2-6=0⇒x=±

2

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+		-		+
		5+4 2		5-4 2

所以函數f（x）的極大值為5+4

2

，極小值為5-4

2

，
∵關于x的方程f（x）=a有三個不同的實根，
∴5-4

2

＜a＜5+4

2

；（6分）
（2）x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，則g（x）=x²+x-5，
∴g（x）的最小值為-3，
∴k≤-3．（12分）

點評：本題主要考查了利用導數求函數單調區(qū)間，極值，以及函數的極值的應用，綜合性強．