Question

19．設(shè)f（x）=（1+x）ln（1+x）-ax
（Ⅰ）設(shè)x=e-1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)f′（e-1）=0，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ln（1+x）+1-a，
∵x=e-1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（e-1）=ln（1+e-1）+1-a=0，解得：a=2，
a=2時(shí)，f（x）=（1+x）ln（1+x）+1-2x，
f′（x）=ln（1+x）-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞e-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜e-1，
∴f（x）在（-1，e-1）遞減，在（e-1，+∞）遞增；
（Ⅱ）f'（x）=ln（x+1）+1-a=0⇒x=e^a-1-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^a-1-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜e^a-1-1，
∴當(dāng)x∈（-1，e^a-1-1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（e^a-1-1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
若f（x）≥0恒成立，則f（x）_min=f（e^a-1-1）≥0，
即lne^a-1≥a-$\frac{a}{{e}^{a-1}}$，解得：a≤1，
故a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．