Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ln（x+a）+b，g（x）=x³．
（1）若函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x+y=0，求實數(shù)a，b的值；
（2）在（1）的條件下，當x∈（0，+∞）時，求證：f（x）＜g（x）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程組解出a，b；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），求導判斷h（x）的單調(diào)性，計算h（x）的最大值小于0即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=2x-$\frac{1}{x+a}$，
∵函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x+y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-lna+b=0}\\{-\frac{1}{a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
證明：（2）由（1）知f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=f（x）-g（x）=x²-x³-ln（x+1），
則h′（x）=2x-3x²-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{3{x}^{3}+（x-1）^{2}}{x+1}$＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴f（x）＜g（x）．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．