Question

設(shè)x≥y≥z≥

π

8

，x+y+z=

π

2

，則cosx•siny•cosz的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件利用誘導(dǎo)公式要求的式子即

1

2

cos²x+

1

2

sin（y-z）cosx，顯然它大于或等于

1

2

cos²x．再由條件可得cosx≥

1

2

，從而求得

1

2

cos²x≥

1

8

，由此得出結(jié)論．

解答： 解：由x≥y≥z≥

π

8

，x+y+z=

π

2

，可得cosx•siny•cosz=cosx•

1

2

[sin（y-z）+sin（y+z）]
=

1

2

cosx[sin（y-z）+cosx]=

1

2

cos²x+

1

2

sin（y-z）cosx≥

1

2

cos²x．
再由條件可得

π

8

≤x≤

π

3

，∴cosx≥

1

2

，∴

1

2

cos²x≥

1

8

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

π

3

，y=z=

π

12

時(shí)，取等號(hào)，
故cosx•siny•cosz 的最小值為

1

8

，
故答案為：

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．