Question

10．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x-y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{12}{17}$
• B． $\frac{36}{13}$
• C． $\frac{6\sqrt{13}}{13}$
• D． $\frac{7\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的斜率得出最優(yōu)解，得出a，b的關(guān)系，將a²+b²表示成b的二次函數(shù)解出最小值．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖所示：
由z=ax+by得y=-$\frac{ax}+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{ax}+\frac{z}$經(jīng)過點A時截距最大，即z取得最大值．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得A（2，3）．
∴2a+3b=6，
∴a=3-$\frac{3b}{2}$．
∴a²+b²=$\frac{13}{4}^{2}$-9b+9=$\frac{13}{4}$（b-$\frac{18}{13}$）²+$\frac{36}{13}$．
∴當(dāng)b=$\frac{18}{13}$時，a²+b²取得最小值$\frac{36}{13}$．
故選B．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．